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高一数学试题一(理)

文章作者:佚名 文章来源:本站原创 添加日期:2014年12月31日
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)(课标I)
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合 ,则 (   )
A.          B.       C.            D.  
(2)若 ,则
A.          B.          C.          D.  
(3)设 ,则 
A.          B.          C.          D. 2
(4)已知双曲线 的离心率为2,则 
A. 2        B.          C.          D. 1
(5)设函数 的定义域为 ,且 是奇函数, 是偶函数,则下列结论中正确的是
A.  是偶函数        B.   是奇函数
C.    是奇函数   D.  是奇函数
(6)设 分别为 的三边 的中点,则 
A.      B.        C.           D.  
(7)在函数① ,②  ,③ ,④ 中,最小正周期为 的所有函数为
A.①②③      B. ①③④      C. ②④         D. ①③
(8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是(    )
A.三棱锥    B.三棱柱   C.四棱锥   D.四棱柱
 
(9)执行右面的程序框图,若输入的 分别为1,2,3,则输出的 (    )
A.    B.     C.     D. 
 
(10) 已知抛物线C: 的焦点为 , 是C上一点, ,则 (    )
A. 1    B.  2     C.  4     D.  8
(11)设 , 满足约束条件 且 的最小值为7,则 
A.-5                                 B. 3
C.-5或3                             D. 5或-3
(12)已知函数 ,若 存在唯一的零点 ,且 ,则 的取值范围是
A.        B.        C.        D. 
第 II  卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分
(13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为_____.
(14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 、 、 三个城市时,
      甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 城市;
      乙说:我没去过 城市;
      丙说:我们三人去过同一城市;
      由此可判断乙去过的城市为________.
(15)设函数 则使得 成立的 的取值范围是________.
(16)如图,为测量山高 ,选择 和另一座山的山顶 为测量观测点.从 点测得   点的仰角 , 点的仰角 以及 ;从 点测得 .已知山高 ,则山高 ________ .
 
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知 是递增的等差数列, , 是方程 的根。
(I)求 的通项公式;
(II)求数列 的前 项和.
(18)(本小题满分12分)
从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:
质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125)
频数 6 26 38 22 8
 
(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
 
(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?
(19)(本题满分12分)
如图,三棱柱 中,侧面 为菱形, 的中点为 ,且 平面 .
(1)证明: 
(2)若 , 求三棱柱 的高.
 
(20) (本小题满分12分)
已知点 ,圆 : ,过点 的动直线 与圆 交于 两点,线段 的中点为 , 为坐标原点.
(1)求 的轨迹方程;
(2)当 时,求 的方程及 的面积
 
(21)(本小题满分12分)
设函数 ,曲线 处的切线斜率为0
(1)求b;
(2)若存在 使得 ,求a的取值范围。
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写清题号.
(22)(本小题满分10分)选修4-1,几何证明选讲
     如图,四边形 是 的内接四边形, 的延长线与 的延长线交于点 ,且 .
(I)证明: ;
(II)设 不是 的直径, 的中点为 ,且 ,证明: 为等边三角形.
 
(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线 ,直线 ( 为参数)
(1)写出曲线 的参数方程,直线 的普通方程;
(2)过曲线 上任意一点 作与 夹角为30°的直线,交 于点 ,求 的最大值与最小值.
 
(24)(本小题满分10分)选修4-5;不等式选讲
若 且 
(I)求 的最小值;
(II)是否存在 ,使得 ?并说明理由.
 
 
参考答案
一、选择题
1-5. BABDA    6-10. CCBDC    11-12. BA
二、填空题
13.       14. A     15.       16. 150
三、解答题
17. 解:
(1)方程 的两个根为2,3,由题意得因为 
设数列 的公差为d,则 ,故 ,从而 
所以 的通项公式为 
(2)设 的前 项和为 ,由(1)知 ,则
          ①
         ②
①-②得
 
 
所以, 
18.解:
(1)
 …………………………4分
(2)质量指标值的样本平均数为 
质量指标值的样本方差为
 
所以,这种产品质量指标的平均数估计值为100,方差的估计值为104.
……………………………………10分
(3)依题意 = 68% < 80%
所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定。……………………………………12分
19.
(1)证明:
连接 ,则 为 与 的交点,因为侧面 为菱形,所以 
又 平面 ,所以 ,故 
由于 ,故 ……………………………6分
(2)解:
做 ,垂足为D,连接AD,做 ,垂足为H。
由于 ,故 ,所以 
又 ,所以 
因为 ,所以 为等边三角形,又 ,可得 
由于 ,所以 
由 ,且 ,得 
又 为 的中点,所以点 到平面 的距离为 ,故三棱柱 的高为 ………………………………………………………………………………12分
20.解:
(1)方法一:
圆 的方程可化为 ,所以,圆心为 ,半径为4,
设 ,则 ,
由题设知 ,故
 ,即 
由于点 在圆 的内部,所以 的轨迹方程是 ……………6分
方法二:
圆 的方程可化为 ,所以,圆心为 ,半径为4,
设 ,
设 ,
则 
所以 
化简得, ,即 
所以 的轨迹方程是 
(2)方法一:
由(1)可知 的轨迹是以点 为圆心, 为半径的圆
由于 ,故 在线段 的垂直平分线上,
又 在圆 上,从而 
因为 的斜率为3,所以 的斜率为 ,
所以 的方程为 
又 , 到 的距离为 ,所以 的面积为 
方法二:
依题意, ,因为 
所以,M也在 上
所以 
两式相减,得 ,即 ,此方程也就是 的方程
由(1)知, 的轨迹方程是 ,
设此方程的圆心为 ,则 
所以 
又 
所以 
 到 的距离 
所以, 
综上所述, 的方程为 , 的面积为 
21.(1)解: 
由题设知 
解得 ……………………………………………………………………………4分
(2)解: 的定义域为 ,由(1)知, ,
 
(ⅰ)若 ,则 ,
故当 时, 在 单调递增,
所以,存在 ,使得 的充要条件为 ,
即 ,
解得 
(ⅱ)若 ,则 ,
故当 时, ;
当 时, ;
所以 在 单调递减,在 单调递增,
所以,存在 ,使得 的充要条件为 
而 ,所以不合题意
(ⅲ)若 ,则 
综上所述, 的取值范围是 ……………………………12分
22.(本小题满分10分)
(1)证明:由题设得,A,B,C,D四点共圆,所以, 
又 , 
所以 ………………………5分
(2)证明:设 的中点为 ,连结 ,则由 知 ,故 在直线 上
又 不是 的直径, 为 的中点,故 ,即 
所以 ,故 
又 ,故 ,由(1)知, ,所以 为等边三角形。…………………………………………………………………10分
23.解:
(1)曲线 的参数方程为 ( 为参数)
直线 的普通方程为 
(2)曲线 上任意一点 到 的距离为
 
则 ,其中 为锐角,且 
当 时, 取得最大值,最大值为 
当 时, 取得最小值,最小值为 …………………………………10分
24.解:
(1)由 ,得 ,且当 时等号成立
故 ,且当 时等号成立
所以 的最小值为 …………………………………………………………5分
(2)由(1)知, 
由于 ,从而不存在 ,使得 ………………………………10分

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