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配方法

文章作者:佚名 文章来源:本站原创 添加日期:2012年02月02日

配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab) a 2abb ,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:

a b (ab) 2ab(ab) 2ab

a abb (ab) ab(ab) 3ab(a ) +( b

a b c abbcca [(ab) (bc) (ca) ]

a b c (abc) 2(abbcca)(abc) 2(abbcca)=…

结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如:

1sin2α=12sinαcosα=(sinα+cosα)

x (x ) 2(x ) 2 ;…… 等等。

Ⅰ、再现性题组:

1. 在正项等比数列{a }中,a sa +2a sa +a ža =25,则 a a _______

2. 方程x y 4kx2y5k0表示圆的充要条件是_____

    A. <k<1       B. k< k>1      C. kR       D. k k1

3. 已知sin α+cos α=1,则sinα+cosα的值为______

    A. 1             B.  1           C. 1或-1     D. 0

4. 函数ylog  (2x 5x3)的单调递增区间是_____

    A. (-∞, ]    B.  [ ,+)      C.  ( , ]   D. [ ,3)

5. 已知方程x +(a-2)x+a-1=0的两根x x ,则点P(x ,x )在圆x +y =4上,则实数a_____

【简解】 1小题:利用等比数列性质a a a ,将已知等式左边后配方(a a 易求。答案是:5 

2小题:配方成圆的标准方程形式(xa) (yb) r ,解r >0即可,选B

3小题:已知等式经配方成(sin α+cos α) 2sin αcos α=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C

4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D

5小题:答案3

Ⅱ、示范性题组

1. 已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____

    A. 2           B.           C. 5             D.  6

【分析】 先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z,则  ,而欲求对角线长 ,将其配凑成两已知式的组合形式可得。

【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”而得:

长方体所求对角线长为: 5

所以选B

【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。

2. 设方程x kx2=0的两实根为pq,若( ) +( ) 7成立,求实数k的取值范围。

【解】方程x kx2=0的两实根为pq,由韦达定理得:pq=-kpq2 ,

( ) +( ) 7, 解得k≤- k  

又 ∵pq为方程x kx2=0的两实根, ∴  △=k 80k2 k≤-2

综合起来,k的取值范围是:- k≤-  或者 k

【注】 关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ”;已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到pqpq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成pqpq的组合式。假如本题不对“△”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视。

3. 设非零复数ab满足a abb =0,求( ) ( )  

【分析】 对已知式可以联想:变形为( ) ( )10,则 =ω (ω为1的立方虚根);或配方为(ab) ab 。则代入所求式即得。

【解】由a abb =0变形得:( ) ( )10

设ω= ,则ω +ω+10,可知ω为1的立方虚根,所以: ,ω 1

又由a abb =0变形得:(ab) ab

所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =ω 2

【注】 本题通过配方,简化了所求的表达式;巧用1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开。

【另解】由a abb 0变形得:( ) ( )10 ,解出 后,化成三角形式,代入所求表达式的变形式( ) ( ) 后,完成后面的运算。此方法用于只是未 联想到ω时进行解题。

假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由a abb 0解出:a b,直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的计算。

Ⅲ、巩固性题组:

1.     函数y(xa) (xb)   ab为常数)的最小值为_____

A.  8      B.       C.       D.最小值不存在

2.     α、β是方程x 2axa60的两实根,则(α-1)  +(β-1) 的最小值是_____

A.      B.  8     C. 18    D.不存在

3.     已知xyR ,且满足x3y10,则函数t2 8 _____

A.最大值2     B.最大值      C.最小值2     B.最小值

4.     椭圆x 2ax3y a 60的一个焦点在直线xy40上,则a_____

A.  2         B.  6       C. 2或-6      D.  26

5.     化简:2 的结果是_____

A.  2sin4     B.  2sin44cos4     C.  2sin4     D.  4cos42sin4

6. F F 为双曲线 y 1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F PF 90°,则△F PF 的面积是_________

7. x>1,则f(x)x 2x 的最小值为___________

8. 已知 〈β<α〈 π,cos(α-β) sin(α+β)=- ,求sin2α的值。(92年高考题)

9. 设二次函数f(x)Ax BxC,给定mnm<n,且满足A [(m+n) + m n ]2A[B(m+n)Cmn]B C 0  

  解不等式f(x)>0

② 是否存在一个实数t,使当t(m+t,n-t)时,f(x)<0 ?若不存在,说出理由;若存在,指出t的取值范围。

10. s>1t>1mRxlog tlog sylog tlog sm(log tlog s),

  y表示为x的函数yf(x),并求出f(x)的定义域;

  若关于x的方程f(x)0有且仅有一个实根,求m的取值范围。

 

 

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