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换元法

文章作者:佚名 文章来源:本站原创 添加日期:2012年02月02日

换元法

解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4 2 20,先变形为设2 tt>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y 的值域时,易发现x[0,1],设xsin α ,α∈[0, ],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量xy适合条件x y r r>0)时,则可作三角代换xrcosθ、yrsinθ化为三角问题。

均值换元,如遇到xyS形式时,设x ty t等等。

我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0, ]

Ⅰ、再现性题组:

1.ysinx·cosxsinx+cosx的最大值是_________

2.f(x 1)log (4x )  a>1),则f(x)的值域是_______________

3.已知数列{a }中,a =-1a ·a a a ,则数列通项a ___________

4.设实数xy满足x 2xy10,则xy的取值范围是___________

5.方程 3的解是_______________

6.不等式log (2 1) ·log (2 2)2的解集是_______________

【简解】1小题:设sinx+cosxt[ , ],则y t ,对称轴t=-1,当t y

2小题:设x 1t (t1),则f(t)log [-(t-1) 4],所以值域为(-∞,log 4]

3小题:已知变形为 =-1,b ,则b =-1,b =-1(n1)(-1)=-n,所以a =-

4小题:设xyk,则x 2kx10, △=4k 40,所以k1k≤-1

5小题:设3 y,则3y 2y10,解得y ,所以x=-1

6小题:设log (2 1)y,则y(y1)<2,解得-2<y<1,所以x(log ,log 3)

Ⅱ、示范性题组:

1. 实数xy满足4x 5xy4y 5   ( ①式) ,设Sx y ,求 的值。(93年全国高中数学联赛题)

【分析】 由Sx y 联想到cos α+sin α=1,于是进行三角换元,设 代入①式求S S 的值。

【解】设 代入①式得:  4S5S·sinαcosα=5 

解得 S  

-1sin2α≤1    385sin2α≤13  

此种解法后面求S最大值和最小值,还可由sin2α= 的有界性而求,即解不等式:| |1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

【另解】 由Sx y ,设x ty tt[ ]

xy=± 代入①式得:4S±5 =5 

移项平方整理得  100t +39S 160S1000

  39S 160S1000  解得: S

【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条件Sx y 与三角公式cos α+sin α=1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式Sx y 而按照均值换元的思路,设x ty t,减少了元的个数,问题且容易求解。另外,还用到了求值域的几种方法:有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变量xy时,可以设xabyab,这称为“和差换元法”,换元后有可能简化代数式。本题设xabyab,代入①式整理得3a 13b 5  ,求得a [0, ],所以S(ab) (ab) 2(a b ) a [ , ],再求 的值。

 

2. △ABC的三个内角ABC满足:AC2B =- ,求cos 的值。(96年全国理)

【分析】 由已知“AC2B”和“三角形内角和等于180°”的性质,可得 ;由“AC120°”进行均值换元,则设  ,再代入可求cosα即cos

【解】由△ABC中已知AC2B,可得 ,

AC120°,设 ,代入已知等式得:
=-2 ,

解得:cosα=     即:cos

【另解】由AC2B,得AC120°,B60°。所以 =-

=-2 ,设 =- m =- m

所以cosA cosC ,两式分别相加、相减得:

cosAcosC2cos cos cos

cosAcosC=-2sin sin =- sin

即:sin =- ,=- ,代入sin cos 1整理得:3m 16m120,解出m 6,代入cos

【注】 本题两种解法由“AC120°”、“ =-2 ”分别进行均值换元,随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出:由AC2B,得AC120°,B60°。所以 =- =-2 ,即cosAcosC=-2 cosAcosC,和积互化得:

2cos cos =- [cos(A+C)cos(A-C),即cos cos(A-C) (2cos 1),整理得:4 cos 2cos 3 0,

解得:cos

      y
    ,       ,  

          x

3. a>0,求f(x)2a(sinxcosx)sinx·cosx2a 的最大值和最小值。

【解】 设sinxcosxt,则t[- , ],由(sinxcosx) 12sinx·cosx得:sinx·cosx

  f(x)g(t)=- (t2a)  a>0),t[- , ]

t- 时,取最小值:-2a 2 a

2a 时,t ,取最大值:-2a 2 a  

0<2a 时,t2a,取最大值:      

  f(x)的最小值为-2a 2 a ,最大值为

【注】 此题属于局部换元法,设sinxcosxt后,抓住sinxcosxsinx·cosx的内在联系,将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围(t[- , ])与sinxcosx对应,否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。

一般地,在遇到题目已知和未知中含有sinxcosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为f(sinx±cosxsinxcsox),经常用到这样设元的换元法,转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。

4. 设对所于有实数x,不等式x log 2x log log >0恒成立,求a的取值范围。(87年全国理)

【分析】不等式中log log log 三项有何联系?进行对数式的有关变形后不难发现,再实施换元法。

【解】 设log t,则log log 3log 3log 3tlog 2log =-2t

代入后原不等式简化为(3tx 2tx2t>0,它对一切实数x恒成立,所以:

,解得    t<0log <0

0< <1,解得0<a<1

【注】应用局部换元法,起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元,关键是发现已知不等式中log log log 三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时,使用了“判别式法”。另外,本题还要求对数运算十分熟练。一般地,解指数与对数的不等式、方程,有可能使用局部换元法,换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形,发现它们的联系而实施换元,这是我们思考解法时要注意的一点。

5. 已知 ,且   (②式),求 的值。

【解】 设 k,则sinθ=kxcosθ=ky,且sin θ+cos θ=k (x +y )1,代入②式得:      即:

t,则t  ,   解得:t3      =± 或±

【另解】 由 tgθ,将等式②两边同时除以 ,再表示成含tgθ的式子:1tg θ= tg θ,设tg θ=t,则3t 10t30

t3     解得 =± 或±

【注】 第一种解法由 而进行等量代换,进行换元,减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为 ,不难发现进行结果为tgθ,再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时,都使用了换元法使方程次数降低。

6. 实数xy满足 1,若xyk>0恒成立,求k的范围。

【分析】由已知条件 1,可以发现它与a b 1有相似之处,于是实施三角换元。

【解】由 1,设 cosθ, sinθ,

即:   代入不等式xyk>0得:

3cosθ+4sinθ-k>0,即k<3cosθ+4sinθ=5sin(θ+ψ)

 所以k<-5时不等式恒成立。

【注】本题进行三角换元,将代数问题(或者是解析几何问题)化为了含参三角不等式恒成立的问题,再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题,从而求出参数范围。一般地,在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时,或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时,经常使用“三角换元法”。

Ⅲ、巩固性题组:

1.   已知f(x )lgx  (x>0),则f(4)的值为_____

A. 2lg2        B.  lg2     C.  lg2    D.  lg4

2.   函数y(x1) 2的单调增区间是______

A. [-2,+)    B.  [-1,+)    D. (-,+)   C. (-,-1]

3.   设等差数列{a }的公差d ,且S 145,则a a a +……+a 的值为_____

A.  85        B.  72.5       C.  60      D.  52.5

4.   已知x 4y 4x,则xy的范围是_________________

5.   已知a0b0ab1,则 的范围是____________

6.   不等式 >ax 的解集是(4,b),则a________b_______

7.   函数y2x 的值域是________________

8.   在等比数列{a }中,a a +…+a 2a a +…+a 12,求a a +…+a

9.   实数m在什么范围内取值,对任意实数x,不等式sin x2mcosx4m1<0恒成立。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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