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待定系数法

文章作者:佚名 文章来源:本站原创 添加日期:2012年02月02日

要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x) g(x)的充要条件是:对于一个任意的a值,都有f(a) g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解。要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x) g(x)的充要条件是:对于一个任意的a值,都有f(a) g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

使用待定系数法,它解题的基本步骤是:

第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;

第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;

第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。

如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析:

利用对应系数相等列方程;

由恒等的概念用数值代入法列方程;

利用定义本身的属性列方程;

利用几何条件列方程。

比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的形式,其中含有待定的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最后解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程。

Ⅰ、再现性题组:

1.   f(x) mf(x)的反函数f (x)nx5,那么mn的值依次为_____

A.  , 2      B.   2      C.   , 2     D.  ,-2

2.   二次不等式ax bx2>0的解集是( , ),则ab的值是_____

A. 10      B. 10     C.  14      D. 14

3.   (1x )1x 的展开式中,x 的系数是_____

A. 297     B.252     C.  297     D.  207

4.   函数yabcos3x (b<0)的最大值为 ,最小值为- ,则y=-4asin3bx的最小正周期是_____

5.   与直线L2x3y50平行且过点A(1,-4)的直线L的方程是_______________

6.   与双曲线x 1有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的方程是____________

【简解】1小题:由f(x) m求出f (x)2x2m,比较系数易求,选C

2小题:由不等式解集( , ),可知- 是方程ax bx20的两根,代入两根,列出关于系数ab的方程组,易求得ab,选D

3小题:分析x 的系数由C (1)C 两项组成,相加后得x 的系数,选D

4小题:由已知最大值和最小值列出ab的方程组求出ab的值,再代入求得答案

5小题:设直线L方程2x3yc0,点A(1,-4)代入求得C10,即得2x3y100

6小题:设双曲线方程x =λ,点(2,2)代入求得λ=3,即得方程 1

Ⅱ、示范性题组:

例1.   已知函数y 的最大值为7,最小值为-1,求此函数式。

【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数mn的值;已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。

【解】 函数式变形为: (ym)x 4 x(yn)0 xR,  由已知得ym0

∴ △=(4 ) 4(ym)(yn)0  即:  y (mn)y(mn12)0 

不等式①的解集为(-1,7),则-17是方程y (mn)y(mn12)0的两根,

代入两根得:   解得:  

y 或者y

此题也可由解集(-1,7)而设(y1)(y7)0,y 6y70,然后与不等式①比较系数而得: ,解出mn而求得函数式y

【注】 在所求函数式中有两个系数mn需要确定,首先用“判别式法”处理函数值域问题,得到了含参数mn的关于y的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数mn。两种方法可以求解,一是视为方程两根,代入后列出mn的方程求解;二是由已知解集写出不等式,比较含参数的不等式而列出mn的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻,也要求理解求函数值域的“判别式法”:将y视为参数,函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程,可知其有解,利用△≥0,建立了关于参数y的不等式,解出y的范围就是值域,使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。

2. 是否存在常数abc,使得等式1·2 2·3 +…+n(n1) (an bnc)对一切自然数n都成立?并证明你的结论。 (89年全国高考题)

【分析】是否存在,不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立,取特殊值n123列出关于abc的方程组,解方程组求出abc的值,再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。

【解】假设存在abc使得等式成立,令:n1,得4 (abc)n2,得22 (4a2bc)n3,得709a3bc。整理得:

,解得

于是对n123,等式1·2 2·3 +…+n(n1) (3n 11n10)成立,下面用数学归纳法证明对任意自然数n,该等式都成立:

假设对nk时等式成立,即1·2 2·3 +…+k(k1) (3k 11k10)

nk1时,1·2 2·3 +…+k(k1) (k1)(k2) (3k 11k10) (k1)(k2) (k2)3k5)+(k1)(k2) 3k 5k12k24)= [3(k1) 11(k1)10]

也就是说,等式对nk1也成立。

综上所述,当a8b11c10时,题设的等式对一切自然数n都成立。

【注】建立关于待定系数的方程组,在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中,也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时,可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列1 2 +…+n 1 2 +…+n 求和的公式,也可以抓住通项的拆开,运用数列求和公式而直接求解:由n(n1) n 2n nS 1·2 2·3 +…+n(n1) (1 2 +…+n )2(1 2 +…+n )(12+…+n) 2× (3n 11n10),综上所述,当a8b11c10时,题设的等式对一切自然数n都成立。

3. 有矩形的铁皮,其长为30cm,宽为14cm,要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形,将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子,问x为何值时,矩形盒子容积最大,最大容积是多少?

【分析】实际问题中,最大值、最小值的研究,先由已知条件选取合适的变量建立目标函数,将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。

【解】 依题意,矩形盒子底边边长为(302x)cm,底边宽为(142x)cm,高为xcm

∴ 盒子容积 V(302x)(142x)x4(15x)(7x)x 

 显然:15x>07x>0x>0

V (15aax)(7bbx)x  (a>0,b>0 

要使用均值不等式,则

解得:a b   x3   

从而V ( )( x)x ( ) ×27576

所以当x3时,矩形盒子的容积最大,最大容积是576cm

【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件,当条件不满足时要凑配系数,可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V (15aax)(7x)bx (15x)(7aax)bx,再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组,求出三项该进行凑配的系数,本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。

 

Ⅲ、巩固性题组:

1.   函数ylog xx[2,+)上恒有|y|>1,则a的取值范围是_____

A. 2>a> a1    B. 0<a< 1<a<2     C.  1<a<2         D.  a>20<a<

2.   方程x pxq0x qxp0只有一个公共根,则其余两个不同根之和为_____

A.  1                B.  1        C.  pq      D. 无法确定

3.   如果函数ysin2xa·cos2x的图像关于直线x=- 对称,那么a_____

A.         B.        C.  1           D. 1

4.   满足C 1·C 2·C +…+n·C <500的最大正整数是_____

A.  4     B.  5     C.  6      D.  7

5.   无穷等比数列{a }的前n项和为S a  , 则所有项的和等于_____

A.          B.  1         C.           D.a有关

6.   (1kx) b b xb x +…+b x ,若b b b +…+b =-1,则k______

7.   经过两直线11x3y9012xy190的交点,且过点(3,-2)的直线方程为_____________

    8. 正三棱锥底面边长为2,侧棱和底面所成角为60°,过底面一边作截面,使其与底面成30°角,则截面面积为______________

9. yf(x)是一次函数,已知f(8)15,f(2)f(5)(f14)成等比数列,求f(1)f(2)+…+f(m)的值。

10. 设抛物线经过两点(-1,6)(-1,-2),对称轴与x轴平行,开口向右,直线y2x7和抛物线截得的线段长是4 , 求抛物线的方程。

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